산술평균과 기하평균

기하평균은 산술평균보다 항상 작거나 같다 — 예시와 증명

---

1. 기하평균과 산술평균의 관계

산술평균(Arithmetic Mean, AM)

• 양의 실수 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_nx1​,x2​,…,xn​이 있을 때
  AM = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

기하평균(Geometric Mean, GM)

• 같은 양의 실수 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_nx1​,x2​,…,xn​에 대해
  GM = (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n)

기본적으로 AM ≥ GM 이 항상 성립하며, 모든 xix_ixi​가 동일할 때(즉, 모든 수가 같을 때)에만 두 값이 같아진다.

---

2. 간단한 예시로 살펴보기

예를 들어, 두 기간 동안의 투자수익률이 각각 +50%, -30%라고 해 봅시다.

1. 첫 해 +50%
   • 이는 자산이 1.5배 증가(1.5를 곱한다는 의미)
2. 둘째 해 -30%
   • 이는 자산이 0.7배로 감소(0.7을 곱한다는 의미)

(1) 산술평균

AM = (1.5 + 0.7) / 2 = 1.1
(즉, +10%에 해당)

(2) 기하평균

GM = √(1.5 × 0.7) ≈ √(1.05) ≈ 1.0247
(즉, 약 +2.47%에 해당)

즉 “연간 +50%, -30%면 평균 +10%쯤?” 이라고 생각하기 쉽지만, 실제로 복리로 운용해 보면

• 1년차에 1.5배 → 2년차에 0.7배
  최종 1.5 × 0.7 = 1.05배 (즉 +5%)

이를 2년으로 나누어 연평균 수익률을 다시 따져 보면 **약 +2.47%**가 된다.
결론적으로 **산술평균(약 +10%)**과 기하평균(약 +2.47%) 사이에 차이가 생긴다.

---

3. “복리가 단리보다 유리한데, 왜 기하평균은 작지?”라는 혼동

3.1 같은 수익률이 매년 반복될 때

• 매년 10% (즉, 매년 1.1배)로 고정된다고 하면,
  • 산술평균: (1.1 + 1.1 + ... + 1.1) / n = 1.1
  • 기하평균: (1.1 × 1.1 × ... × 1.1)^(1/n) = 1.1
  • 두 평균이 같아진다.
• 단리 vs. 복리를 보면,
  • 단리: 매년 원금에 대해서만 10% 이자
    • 예) 3년 후 → 1 + 0.1×3 = 1.3배
  • 복리: (원금 + 이자)까지 합친 금액에 또 10% 이자
    • 예) 3년 후 → (1.1)^3 ≈ 1.331배

따라서 당연히 복리가 더 많이 불어난다.
하지만 이것은 “*단리 vs. 복리* 계산방식”의 차이이며,
수익률들을 *평균* 내는 문제에서의 “산술평균 vs. 기하평균”과는 다른 개념이다.

3.2 수익률이 매년 달라질 때(변동성)

• 실제로는 매년 수익률이 고정되지 않고, +30%, -20%, +10% 등 해마다 다를 수 있다.
• 여러 해에 걸쳐 달라지는 수익률을 제대로 “평균” 내려면, 복리 효과(곱셈 누적)를 반영하는 기하평균을 사용해야 한다.
• 그런데 여러 수익률을 단순히 더해서 나누는 산술평균은, AM ≥ GM\text{AM ≥ GM}AM ≥ GM이라는 수학적 성질에 의해 항상 기하평균보다 크거나 같게 나타난다.

---

4. 정리

• “기하평균 ≤ 산술평균”은 수학적으로 항상 참이다.
• “복리 계산이 단리보다 유리하다”는 말은, 매년 같은 이자율(예: 10%)일 때 원금만따지는단리원금만 따지는 단리원금만따지는단리보다 원금+이자를재투자하는복리원금+이자를 재투자하는 복리원금+이자를재투자하는복리가 금액이 더 커진다는 *계산방식* 비교의 결과다.
• 여러 해에 걸쳐 수익률이 각기 다를 때, 진짜 ‘연평균 수익률’을 구하는 데에는 기하평균\text{기하평균}기하평균이 적절하며, 이 기하평균은 산술평균보다 작게 나온다(변동성이 클수록 차이가 커짐).